Signal carré

Un signal carré est une sorte d'onde non–sinusoïdale qu'on rencontre le plus fréquemment en électronique ou dans le cas du traitement du signal.



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Formes d'onde sinusoïdale, carrée, triangulaire et en dents de scie.

Un signal carré est une sorte d'onde non–sinusoïdale qu'on rencontre le plus fréquemment en électronique ou dans le cas du traitement du signal. Un signal carré parfait alternerait régulièrement et instantanément entre deux niveaux.

Origines et usages

On rencontre fréquemment les signaux carrés dans les circuits de commutation numérique et dans les systèmes binaires logiques où ils sont tout naturellement générés. Ils sont utilisés comme référence temporelle car leurs transitions rapides sont précieuses pour synchroniser des dispositifs à des intervalles particulièrement précis. Cependant, comme on peut le voir sur le diagramme des fréquences, un signal carré comporte une grande quantité d'harmoniques qui peuvent générer un rayonnement électromagnétique ou des pics de courant pouvant interférer avec des circuits de précision à proximité. Dans ce cas on leur préfèrera des signaux sinusoïdaux.

En musique

Étude du signal carré

Par opposition au signal en dents de scie qui comporte l'ensemble des harmoniques entières, le signal carré ne comprend que les harmoniques entières impaires.

Avec une série de Fourier on peut décrire un signal carré parfait comme une série illimitée de la forme :


\begin{align}
x_{\mathrm{carr\acute e}}(t) & {} = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}ˆ\infty {\sin{\left ((2k-1)2\pi ft \right )}\over(2k-1)} \\ 
& {} = \frac{4}{\pi}\left (\sin(2\pi ft)+{1\over3}\sin(6\pi ft)+{1\over5}\sin(10\pi ft) + \cdots\right ).
\end{align}

Le phénomène de Gibbs est une curiosité de la description d'un signal carré par une série de Fourier. On peut montrer que les oscillations supplémentaires constatées dans le cas d'un signal carré non–idéal est un artefact en lien avec ce phénomène. Le phénomène de Gibbs peut être évité par l'usage d'une approximation sigma qui permettra à la séquence de converger plus doucement.

Pour avoir un signal carré parfait il faut que le signal passe de sa valeur élevée à sa valeur basse proprement et instantanément. Ceci est impossible en réalité car il faudrait supposer une bande passante illimitée.

Animation de la synthèse additive d'un signal carré par augmentation du nombre d'harmoniques.

En réalité les signaux carrés ont une bande passante finie et présentent fréquemment des oscillations supplémentaires identiques à celles du phénomène de Gibbs, ou des effets de rides proches de ceux de l'approximation sigma.

Comme première approche on peut dire qu'au moins la principale et la troisième harmonique d'un signal carré doivent être présentes, la cinquième harmonique restant souhaitable. Les conditions de bande passante sont principales dans les circuits numériques où on utilise des bandes passantes analogiques limitées proches d'un signal carré. En électronique les transitoires sont importantes car elles peuvent aller au-delà des limites des circuits ou encore faire qu'un seuil mal situé puisse être franchi à plusieurs reprises.

Le rapport entre la période où le signal est haut et la période totale d'un signal carré, est nommé «rapport cyclique». Un signal carré vrai doit avoir un rapport cyclique de 50%, c'est-à-dire avec des périodes hautes et basses identiques. Le niveau moyen d'un signal carré est aussi donné par le rapport cyclique, par conséquent, en faisant fluctuer les périodes hautes et basses, puis en moyennant, il est envisageable de représenter l'ensemble des valeurs entre les deux valeurs limites. Ceci est la base de la modulation de largeur d'impulsion.

Caractéristiques des signaux carrés non–parfaits

Mais aussi nous l'avons déjà vu, un signal carré parfait passe instantanément de sa valeur haute à sa valeur basse. En réalité, ceci n'arrive jamais à cause des limitations physique du dispositif qui le génère. La durée de montée du signal de son niveau bas à son niveau haut, et la durée de la descente sont respectivement nommés «temps de montée» et «temps de descente».

Si le dispositif est trop amorti le signal n'atteindra jamais ses valeurs théoriques hautes et basses, et s'il n'est pas suffisament amorti il oscillera entre les niveaux haut et bas avant de s'établir. Dans ces cas spécifiques, les temps de montée et de descente sont mesurés entre des niveaux intermédiaires comme 5% et 95%, ou encore 10% et 90%. Il existe des formules qui permettent de déterminer la bande passante approximative d'un dispositif donné à partir des temps de montée et de descente du signal.

Autres définitions

Le signal carré a de nombreuses définitions qui sont toutes équivalentes, sauf dans les discontinuités.


\ x(t) = \sgn(\sin(t))

qui sera égale à 1 lorsque la sinusoïde est positive, −1 lorsqu'elle est négative, et 0 dans les discontinuités ;


\ x(t) = \sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty} \sqcap(t - nT) = \sum_{n=-\infty}ˆ{+\infty} \left ( u \left(t - nT + {1 \over 2} \right) - u \left(t - nT - {1 \over 2} \right) \right )

T = 2 pour un rapport cyclique de 50% ;


\ x(t) = \begin{cases} 1, & |t| < T_1 \\ 0, & T_1 < |t| \leq {T \over 2} \end{cases}

quand


\ x(t + T) = x(t)

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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