Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.



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Électronique - Courbe

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Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition mathématique

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :

 x( \theta )=a\sin(\theta)\,
 y( \theta )=b\sin(n \theta + \phi)\,
 0\le \phi \le \frac {\pi}{2} et n\ge 1\,

n\, est nommé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme n=\frac{p}{q}\, et l'équation paramétrique de la courbe devient :

 x( \theta )=a\sin(p\theta)\,
 y( \theta )=b\sin(q \theta + \phi)\,
 0\le \theta \le 2\pi
 0\le \phi \le \frac {\pi}{2p}

Propriétés

Cas spécifiques

Voici quelques exemples de tracés avec φ = 0, p impair, q pair, |pq| = 1.

Applications

Sur un oscilloscope analogique, le mode XY permet surtout de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.

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